Materi Pendidikan Menentukan Nilai Sudut Antara Garis Dengan Garis Pada Kubus

Untuk bisa menentukan nilai sudut antara garis dengan garis pada kubus ada beberapa konsep yang digunakan pada pembahasan seperti identitas trigonometri, aturan cosinus pada segitiga, dan teorema Pythagoras. Sebelum menggunakan beberapa konsep tersebut, terlebih dahulu kamu harus menggambarkan permasalahan atau soal ke dalam gambar atau sketsa agar lebih mudah mengerjakan soalnya. Oke langsung saja ke contoh soalnya.

 

Contoh Soal 1

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jika titik P terletak di tengah garis AB, maka tentukan nilai tangen sudut antara garis AG dengan garis PG.

 

Penyelesaian:

Untuk memudahkan menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu ilustrasikan soal tersebut ke dalam gambar, maka akan terlihat seperti gambar di bawah ini.

Cari panjang BG terlebih dahulu dengan menggunakan teorema Pythagoras yakni:

BG² = BC² + CG²

BG² = 8² + 8²

BG² = 128

BG = 8√2 cm

 

Cari panjang PG dengan menggunakan teorema Pythagoras juga, maka:

PG² = BP² + BG²

PG² = 4² + (8√2)²

PG² = 16 + 128

PG² = 144

PG = 12 cm

 

Cari panjang AG yang merupakan diagonal ruang kubus ABCD.EFGH, maka:

AG = r√3

AG = 8√3 cm

 

Perhatikan segitiga AGP yang merupakan segitiga sembarang. Dengan menggunakan aturan cosinus maka akan diperoleh:

AP² = AG² + PG² – 2AG.PG.cos α

4² = (8√3)² + 12² – 2.8√3.12.cos α

16 = 192 + 144 - 192√3 cos α

192√3 cos α = 320

3√3 cos α = 5

cos α = 5/(3√3)

 

Nilai tan α dapat ditentukan dengan menggunakan identitas trigonometri yakni:

sec² α – tan² α = 1

(1/cos² α) – tan² α = 1

tan² α = (1/cos² α) – 1

tan² α = (1/[5/(3√3)]²) – 1

tan² α = (1/(25/27)) – 1

tan² α = (27/25) – 1

tan² α = (27/25) – (25/25)

tan² α = 2/25

tan α = √2/√25

tan α = √2/5

Jadi, nilai tangen sudut antara garis AG dengan garis PG adalah √2/5.

 

Contoh Soal 2

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika α adalah sudut antara rusuk AB dan diagonal BH, maka tentukan nilai cos α!

 

Penyelesaian:

Untuk memudahkan menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu ilustrasikan soal tersebut ke dalam gambar, maka akan terlihat seperti gambar di bawah ini.

Cari panjang AH terlebih dahulu dengan menggunakan teorema Pythagoras yakni:

AH² = AE² + EH²

AH² = 4² + 4²

AH² = 32

AH = 4√2 cm

 

Cari panjang BH dengan menggunakan teorema Pythagoras juga, maka:

BH² = AB² + AH²

BH² = 4² + (4√2)²

BH² = 16 + 32

BH² = 48

BH = 4√3 cm

 

Perhatikan segitiga ABH yang merupakan segitiga siku-siku, maka:

cos α = AH/BH

cos α = (4√2)/(4√3)

cos α = √2/√3

cos α = √6/3 atau (1/3)√6

 

Contoh Soal 3

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika titik Q merupakan perpotongan diagonal AC dengan diagonal BD, maka tentukan nilai sin sudut antara garis AG dengan garis QG.

 

Penyelesaian:

Untuk memudahkan menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu ilustrasikan soal tersebut ke dalam gambar, maka akan terlihat seperti gambar di bawah ini.

Cari panjang AC yang merupakan diagonal sisi ABCD yakni:

AC = r√2

AC = 4√2 cm

 

Cari panjang AG yang merupakan diagonal ruang kubus yakni:

AG = r√3

AG = 4√3 cm

 

Panjang AQ merupakan setengah panjang diagonal AC, maka:

AQ = ½ AC

AQ = ½ 4√2

AQ = 2√2 cm

 

Cari panjang QG dengan menggunaka teorema Pythagoras maka:

QG² = CQ² + CG²

QG² = (2√2)² + 4²

QG² = 8 + 16

QG² = 24

QG = 2√6 cm

 

Perhatikan segitiga AQG yang merupakan segitiga sembarang. Dengan menggunakan aturan cosinus maka akan diperoleh:

AQ² = AG² + QG² – 2AG.QG.cos α

(2√2)² = (4√3)² + (2√6)²– 2.4√3.2√6.cos α

8 = 48 + 24 - 16√18 cos α

8 = 48 + 24 - 48√2 cos α

48√2 cos α = 64

3√2 cos α = 4

cos α = 4/(3√2)

 

Nilai sin α dapat ditentukan dengan menggunakan identitas trigonometri yakni:

sin² α = 1 – cos² α

sin² α = 1 – [4/(3√2)]²

sin² α = 1 – 16/18

sin² α = (18/18) – (16/18)

sin² α = 2/18

sin² α = 1/9

sin α = 1/3

 

Contoh Soal 4

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika titik X merupakan perpotongan diagonal AC dengan diagonal BD dan titik Y di tengah-tengah AE, maka tentukan nilai sin sudut antara garis GX dengan garis GY.

 

Penyelesaian:

Untuk memudahkan menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu ilustrasikan soal tersebut ke dalam gambar, maka akan terlihat seperti gambar di bawah ini.

Panjang AC merupakan diagonal sisi kubus maka:

AC = r√2

AC = 4√2 cm

 

Cari panjang GX dengan menggunaka teorema Pythagoras maka:

GX² = CG² + CX²

GX² = 4² + 2√2²

GX² = 16 + 8

GX² = 24

GX = 2√6 cm

 

Panjang XY:

XY² = AX² + AY²

XY² = 2√2² + 2²

XY² = 8 + 4

XY² = 12

XY = 2√3 cm

 

Panjang GY:

GY² = GE² + EY²

GY² = (4√2)² + 2²

GY² = 32 + 4

GY² = 36

GY = 6 cm

 

Perhatikan segitiga XGY. Dengan menggunakan aturan cosinus maka akan diperoleh:

XY² = GX² + GY² – 2.GX.GY.cos α

(2√3)² = (2√6)² + 6² – 2.2√6.6.cos α

12 = 24 + 36 – 24√6.cos α

24√6.cos α = 48

√6.cos α = 2

cos α = 2/√6

 

Nilai sin α dapat ditentukan dengan menggunakan identitas trigonometri yakni:

sin² α = 1 – cos² α

sin² α = 1 – (2/√6)²

sin² α = 1 – 4/6

sin² α = 1 – 2/3

sin² α = (3/3) – (2/3)

sin² α = 1/3

sin α = √(1/3)

sin α = 1/√3

sin α = (1/3)√3

 

Cara lain:

Perhatikan segitiga GXY yang merupakan segitiga siku-siku (dapat dibuktikan dengan triple Pythagoras), nilai sin α tanpa menggunakan aturan cosinus yakni:

sin α = XY/GY

sin α = (2√3)/6

sin α = √3/3

sin α = (1/3)√3

 

Demikian pembahasan cara menentukan nilai sudut antara garis dengan garis pada kubus. Jika ada kendala atau permasalahan dalam memahami materi ini, silahkan tanyakan di kolom komentar.