Materi Pendidikan Persamaan Vektor Gerak Parabola

Menurut analisis vektor, persamaan-persamaan gerak parabola dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk vektor posisi pada gerak parabola dapat ditulis dengan persamaan:

 

r = xi + yj

 

dengan:

x = v_o cosα t

y = v_o sinα t – ½ gt²

 

maka persamaan vektor posisi dapat dituliskan dengan persamaan:

 

r = (v_o cosα t)i + (v_o sinα t – ½ gt²)j

 

Untuk vektor kecepatan pada gerak parabola dapat dituliskan dengan persamaan:

 

v = v_x i + v_y j

 

dengan:

v_x = v_o cosα

v_y = v_o sinα – gt

 

maka persamaan vektor kecepatan pada gerak parabola dapat ditulis dengan persamaan:

 

v = (v_o cosα )i + (v_o sinα – gt)j

 

Gerak Parabola
img by wikimedia.org

Untuk memantapkan pemahaman kamu tentang materi persamaan vektor gerak parabola, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

 

Contoh Soal 1

Posisi peluru yang ditembakkan di atas bidang datar dengan sudut elevasi tertentu dinyatakan oleh persamaan r = [80ti + (60t – 5t²)j] m. Jika i dan j menyatakan vektor satuan dalam arah x dan y, serta t dalam sekon, tentukanlah:

a. kecepatan awal peluru,

b. sudut elevasi tembakan,

c. kecepatan peluru di titik tertinggi

d. waktu untuk mencapai jarak maksimum, dan

e. jarak mendatar maksimum tembakan.

 

Jawab:

Diketahui:

r = [80ti + (60t – 5t²)j] m

 

a. Kecepatan awal peluru (t = 0),

v = dr/dt

v = d[80ti + (60t – 5t²)j]/dt

v = 80i + (60 – 10t)j

Pada t = 0 diperoleh:

v = 80i + (60 – 10t)j

v = 80i + (60 – 10.0)j

v_o = 80i + 60j

 

|v_o| = √(v_x² + v_y²)

|v_o| = √(80² + 60²)

|v_o| = √(6400 + 3600)

|v_o| = √10.000

|v_o| = 100 m/s

Jadi kecepatan awal peluru adalah 100 m/s

 

b. Sudut elevasi tembakan (α ) diperoleh:

tan α = v_y/v_x

tan α = 60/80

tan α = ¾

 

α = arc tan ¾

α = 37°

jadi sudut elevasi tembakan peluru adalah 37° terhadap sumbu x

 

c. Kecepatan peluru di titik tertinggi v_y = 0 (peluru diam sesaat) sehingga peluru hanya memiliki komponen kecepatan sumbu-x yakni:

v = v_ox = 80 m/s.

 

d. Waktu untuk mencapai jarak maksimum (X) diperoleh apabila y = 0, maka:

y = 60t – 5t²

0 = 60t – 5t²

5t² = 60t

5t = 60

t = 60/5

t = 12 s

jadi waktu untuk mencapai jarak maksimum (X) adalah 12 detik

 

e. Jarak mendatar maksimum tembakan diperoleh:

X = v_ox . t

X = 80 . 12

X = 960 m

Jadi jarak mendatar maksimum (jangkauan maksimum) tembakan peluru adalah 960 meter.

 

Contoh Soal 2

Posisi peluru yang ditembakkan di atas bidang datar dengan sudut elevasi tertentu dinyatakan oleh persamaan r = [120t i + (160t – 5t²)j]m. Apabila i dan j menyatakan vektor satuan dalam arah x dan y, serta t dalam sekon. Tentukan:

a. kecepatan awal peluru,

b. sudut elevasi tembakan,

c. kecepatan peluru di titik tertinggi,

d. jarak mendatar maksimum tembakan, dan

e. tinggi maksimum yang dicapai peluru

 

Jawab:

Diketahui:

r = [120t i + (160t – 5t²)j]m

 

a. kecepatan awal peluru (t = 0)

v = dr/dt

v = d[120t i + (160t – 5t²)j]/dt

v = 120i + (160 – 10t)j

Pada t = 0 diperoleh:

v = 120i + (160 – 10t)j

v = 120i + (160 – 10.0)j

v_o = 120i + 160j

 

|v_o| = √(v_x² + v_y²)

|v_o| = √(120² + 160²)

|v_o| = √(14.400 + 25.600)

|v_o| = √40.000

|v_o| = 200 m/s

Jadi kecepatan awal peluru adalah 200 m/s

 

b. Sudut elevasi tembakan (α ) diperoleh:

tan α = v_y/v_x

tan α = 160/120

tan α = 4/3

 

α = arc tan 4/3

α = 53°

jadi sudut elevasi tembakan peluru adalah 53° terhadap sumbu x

 

c. Kecepatan peluru di titik tertinggi v_y = 0 (peluru diam sesaat) sehingga peluru hanya memiliki komponen kecepatan sumbu-x yakni:

v = v_ox = 120 m/s.

 

d. Waktu untuk mencapai jarak maksimum (X) diperoleh apabila y = 0, maka:

y = 160t – 5t²

0 = 160t – 5t²

5t² = 160t

5t = 160

t = 160/5

t = 32 s

 

Jarak mendatar maksimum tembakan diperoleh:

X = v_ox . t

X = 120 . 32

X = 3.840 m

Jadi jarak mendatar maksimum (jangkauan maksimum) tembakan peluru adalah 3.840 meter.

 

e. waktu untuk mencapai tinggi maksimum pada saat v_y= 0, maka:

v_y = 160 – 10t

0 = 160 – 10t

10t = 160

t = 16 s

 

Tinggi maksimum yang dicapai peluru yakni:

y = 160t – 5t²

y = 160.16 – 5(16)²

y = 2.560 – 1.280

y = 1.280 m

jadi tinggi maksimun yang dicapai oleh peluru adalah 1.280 meter.