Materi Pendidikan Cara Penyelesaian Persamaan Linear Tiga Variabel Metode Substitusi

Pada postingan sebelumnya Mafia Online sudah membahas tentang Cara Penyelesaian Persamaan Linear Tiga Variabel Metode Eliminasi. Nah postingan kali ini Mafia Online akan membahas tentang cara penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode substitusi.

Oke langsung saja simak beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Himpunan {x, y, z} adalah himpunan penyelesaian sistem persamaan:

x – y + 2z = 5 . . . pers (1)

2x + y – z = 9 . . . pers (2)

x − 2y + 3z = 4 . . . pers (3)

Tentukan nilai x + y + z !

 

Penyelesaian:

Langkah I

Pilih variabel yang memiliki koefesien sama dengan 1, misal kita pilih persamaan 1 variabel x, maka ubah terlebih dahulu bentuk persamaan 1, yakni:

x – y + 2z = 5

=> x = 5 + y – 2z . . . . pers (4)

 

Substitusi persamaan 4 ke persamaan 2, yakni:

2x + y – z = 9

2(5 + y – 2z) + y – z = 9

10 + 2y – 4z + y – z = 9

3y – 5z = – 1 . . . pers (5)

 

Langkah II

Substitusi persamaan 4 ke persamaan 3, yakni:

x − 2y + 3z = 4

(5 + y – 2z) − 2y + 3z = 4

− y + z = − 1

=> z = y – 1 . . . pers (6)

 

Langkah III

Subtitusi persamaan 6 ke persamaan 5, yakni:

3y – 5z = – 1

3y – 5(y – 1) = – 1

3y – 5y + 5 = – 1

– 2y = – 6

y = 3

 

Langkah IV

Subtitusi nilai y = 3 ke persamaan 6, yakni:

z = y – 1

z = 3 – 1

z = 2

 

Langkah V

Subtitusi nilai y = 3 dan z = 2 ke persamaan 4, yakni:

x = 5 + y – 2z

x = 5 + 3 – 2(2)

x = 4

 

Langkah VI

Didapatkan himpunan penyelesian sistem persamaan linear tiga variabel tersebut yakn {4, 3, 2}, maka:

x + y + z = 4 + 3 + 2 = 10

 

Contoh Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut dengan metode substitusi:

3x – y + 2z = 15 . . . pers (1)

2x + y + z = 13 . . . pers (2)

3x + 2y + 2z = 24 . . . pers (3)

 

Penyelesaian:

Langkah I

Pilih variabel yang memiliki koefesien sama dengan 1, yakni persamaan 1 dan 2. Misalkan kita pilih persamaan 2, maka ubah terlebih dahulu persamaan 2 yakni:

=> 2x + y + z = 13

=> y = 13 – 2x – z  . . . pers (4)

 

Langkah II

Subtitusi persamaan 4 ke persamaan 1, yakni:

=> 3x – y + 2z = 15

=> 3x – (13 – 2x – z ) + 2z = 15

=> 3x – 13 + 2x + z + 2z = 15

=> 5x + 3z = 28 . . . pers (5)

 

Langkah III

Subtitusi persamaan 4 ke persamaan 3, yakni:

=> 3x + 2y + 2z = 24

=> 3x + 2(13 – 2x – z) + 2z = 24

=> 3x + 26 – 4x – 2z + 2z = 24

=> – x = – 2

=> x = 2

 

Langkah III

Subtitusi nilai x = 2 ke persamaan 5 yakni:

=> 5x + 3z = 28

=> 5(2) + 3z = 28

=> 10 + 3z = 28

=> 3z = 18

=> z = 6

 

Langkah IV

Subtitusi nilai x = 2 dan z = 8 ke persamaan 4 yakni:

y = 13 – 2x – z  

y = 13 – 2(2) – 6

y = 13 – 4 – 6

y =  3

 

Jadi himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah {2, 3, 6}

 

Contoh Soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut dengan metode substitusi:

2x – 3y + 2z = 17   . . . pers (1)

3x + 2y – 5z = –10 . . . pers (2)

2x – 3y – 4z = 5     . . . pers (3)

 

Penyelesaian:

Langkah I

Nah pada soal ini tidak ada variabel yang memiliki koefesien 1, di sini bebas kita pilih yang mana akan mau diubah persamaannya, tetapi nantinya hasil persamaannya dalam bentuk pecahan. Misalkan kita pilih persamaan 1 yang akan disubstitusi ke yang lainnya.

=> 2x – 3y + 2z = 17

=> 2x = 17 + 3y –  2z

=> x = (17 + 3y – 2z)/2 . . . pers (4)

 

Langkah II

Subtitusi persamaan 4 ke persamaan 2, yakni:

=> 3x + 2y – 5z = –10

=> 3((17 + 3y – 2z)/2) + 2y – 5z = –10

Agar tidak ada bilangan pecahan dengan penyebut 2 maka dikalikan dengan 2, sehingga:

=> 3(17 + 3y – 2z) + 4y – 10z = –20

=> 51 + 9y – 6z + 4y – 10z = –20

=> 13y – 16z = –71 . . . pers (5)

 

Langkah III

Subtitusi persamaan 4 ke persamaan 3, yakni:

=> 2x – 3y – 4z = 5

=> 2((17 + 3y – 2z)/2) – 3y – 4z = 5

Agar tidak ada bilangan pecahan dengan penyebut 2 maka dikalikan dengan 2, sehingga:

=> 2(17 + 3y – 2z) – 6y – 8z = 10

=> 34 + 6y – 4z – 6y – 8z = 10

=> – 12z = – 24

=> z = 2

 

Langkah IV

Subtitusi z = 2 ke persamaan 5, yakni:

=> 13y – 16z = –71

=> 13y – 16(2) = –71

=> 13y – 32 = –71

=> 13y = –39

=> y = – 3

 

Langkah V

Subtitusi y = – 3 dan z = 2 ke persamaan 4, yakni:

x = (17 + 3y – 2z)/2

x = (17 + 3(– 3) – 2(2))/2

x = (17 – 9 – 4)/2

x = 4/2

x = 2

 

Jadi himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah {2, –3, 2}

Demikian artikel tentang cara penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode subtitusi lengkap dengan langkah-langkahnya. Mohon maaf jika ada kata atau tulisan yang salah. Jika ada masalah atau kurang mengerti dengan pembahasan di atas, silahkan tanyakan di kolom komentar.

Silahkan tunggu postingan berikutnya tentang cara penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode campuran (gabungan antara metode eliminasi dan metode subtitusi). Silahkan baca juga Soal Cerita Persamaan Linear Tiga Variabel dan Penyelesaiannya.