Materi Pendidikan Kecepatan Sudut Dalam Gerak Melingkar

Kecepatan sudut adalah besarnya sudut yang ditempuh saat gerak melingkar tiap satuan waktu. Kecepatan sudut dilambangkan ω. Besar sudut yang ditempuh dalam waktu satu periode T sama dengan 2 π radian. Periode adalah waktu yang diperlukan untuk melakukan satu kali putaran. Satuan kecepatan sudut dinyatakan dalam rad/s atau putaran per menit (rpm). Satu putaran senilai dengan 2 π radian.

Dalam gerak melingkar terdapat dua jenis kecepatan sudut, yaitu kecepatan sudut rata-rata dan kecepatan sudut sesaat. Kecepatan sudut rata-rata adalah hasil bagi perubahan posisi sudut dengan selang waktu tertentu.

Kecepatan sudut rata-rata dituliskan dengan persamaan:

 

ω = Δθ/Δt

 

dimana:

Δθ = θ₂ – θ₁

Δt = t₂ – t₁

 

Sehingga persamaan kecepatan sudut rata-rata dapat dituliskan:

 

ω = (θ₂ – θ₁)/(t₂– t₁)

 

Keterangan:

ω : kecepatan sudut rata-rata (rad/s atau rpm)

Δθ : perpindahan sudut (rad)

Δt : selang waktu yang ditempuh (s)

θ₁ : sudut awal (rad)

θ₂ : sudut akhir (rad)

t₁ : waktu awal (s)

t₂ : waktu akhir (s)

 

Apabila selang waktu Δt mendekati nol, maka kecepatan sudut benda tersebut adalah kecepatan sudut sesaat, dirumuskan:

ω = dθ/dt

 

Kecepatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari posisi sudut, atau dapat pula ditentukan dari kemiringan garis singgung grafik posisi sudut terhadap waktu.

 

Pada gerak melingkar, kecepatan sudut suatu benda dapat ditentukan dari percepatan sudut dengan cara mengintegralkannya. Jadi, jika kecepatan sudut awal diketahui ω_o dan percepatan sudut suatu gerak melingkar berubah beraturan α diketahui maka kecepatan sudut sesaatnya dinyatakan dengan persamaan:

 

ω = ω_o + ꭍαdt

 

dengan:

dengan:

ω = kecepatan sudut pada saat t (rad/s)

ω_o = kecepatan sudut awal (rad/s)

α = percepatan sudut (rad/s²)

t = waktu (s)

 

Secara matematis, nilai integral suatu fungsi juga menunjukkan luas daerah di bawah kurva maka kecepatan sudut pun dapat ditentukan dengan menghitung luas grafik antara percepatan terhadap waktu. Dengan demikian, metode grafik dapat digunakan sebagai suatu alternatif penentuan kecepatan sudut.

 

Posisi sudut dapat dicari dari fungsi kecepatan sudut sesaat. Apabila kecepatan sudut suatu benda diketahui, kita dapat menentukan fungsi posisi benda dengan mengintegralkan fungsi kecepatan sudut tersebut yang dapat dinyatakan dengan persamaan:

 

θ = θ_o + ꭍω dt

 

dengan:

θ = posisi sudut pada saat t (rad)

θ_o = posisi sudut awal (rad)

ω = kecepatan sudut (rad/s)

t = waktu (s)

 

Untuk memantapkan pemahaman kamu tentang materi kecepatan sudut dalam gerak melingkar, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

 

Contoh Soal 1

Sebuah benda berotasi dengan posisi sudut θ = t²+ 2t + 5, θ dalam rad dan t dalam sekon. Tentukan kecepatan rata-rata benda selama 5 detik pertama!

 

Penyelesaian:

Posisi sudut saat t = 1 yakni:

θ₁ = t² + 2t + 5

θ₁ = (1)² + 2(1) + 5

θ₁ = 8 rad

 

Posisi sudut saat t = 5 yakni:

θ₅ = t² + 2t + 5

θ₅ = (5)² + 2(5) + 5

θ₅ = 25 + 10 + 5

θ₅ = 40 rad

 

Kecepatan rata-rata:

ω = (θ₅ – θ₁)/(t₅– t₁)

ω = (40 – 8)/(5 – 1)

ω = 32/4

ω = 8 rad/s

 

Contoh Soal 2

Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan: θ = (2t² + 5) rad. Tentukan:

a. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 3 s,

b. kecepatan sudut saat t = 3 s.

 

Penyelesaian:

θ = (2t² + 5) rad

 

a. Posisi sudut saat t = 0 s yakni:

θ_o = (2t² + 5) rad

θ_o = [2(0)² + 5] rad

θ_o = 5 rad

 

Posisi sudut saat t = 3 s yakni:

θ₃ = (2t² + 5) rad

θ₃ = [2(3)² + 5] rad

θ₃ = 23 rad

 

Kecepatan rata-rata:

ω = (θ₃ – θ_o)/(t₃– t_o)

ω = (23 – 5)/(3 – 0)

ω = 18/3

ω = 6 rad/s

 

b. kecepatan sudut sesaat merupakan turunan dari fungsi posisi sudut yakni:

ω = dθ/dt

ω = d(2t² + 5)/dt

ω = 4t

 

kecepatan sudut saat t = 3 yakni:

ω = 4t

ω = 4(3)

ω = 12 rad/s

 

Contoh Soal 3

Sebuah piringan (CD) berputar dengan posisi sudut θ = 6t²+ 4t – 2, t dalam sekon dan θ dalam radian. Tentukan kecepatan sudutnya saat t = 0 s dan t = 2 s.

 

Penyelesaian:

θ = 6t² + 4t – 2

t = 0 s

t = 2 s

 

Turunan pertama dari fungsi posisi sudut yakni:

ω = dθ/dt

ω = d(6t² + 4t – 2)/dt

ω = 12t + 4

 

Kecepatan sudut saat t = 0 yakni:

ω = 12t + 4

ω = 12(0) + 4

ω = 4 rad/s

 

Kecepatan sudut saat t = 2 yakni:

ω = 12t + 4

ω = 12(2) + 4

ω = 28 rad/s

 

Contoh Soal 4

Sebuah partikel bergerak pada lintasan melingkar dengan posisi sudut yang berubah sesuai persamaan: θ = 8 − 2t + 6t², θ dalam rad dan t dalam s. Tentukan kecepatan sudut saat t = 3 s.

 

Penyelesaian:

θ = 8 − 2t + 6t²

t = 3

 

Kecepatan sudut sesaat yakni:

ω = dθ/dt

ω = d(8 − 2t + 6t²)/dt

ω = − 2 + 12t

Kecepatan sudut saat t = 3 yakni:

ω = − 2 + 12t

ω = − 2 + 12(3)

ω = − 2 + 36

ω = 34 rad/s

 

Contoh Soal 5

Posisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar dinyatakan: θ = 2t³ + 3t² + 2t + 2, θ dalam rad dan t dalam s. Tentukan:

a. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s,

b. kecepatan sudut saat t = 2 s.

 

Penyelesaian:

θ = 2t³ + 3t² + 2t + 2

 

a. Posisi sudut saat t = 0 s yakni:

θ_o = 2t³ + 3t² + 2t + 2

θ_o = 2(0)³ + 3(0)² + 2(0) + 2

θ_o = 2 rad

 

Posisi sudut saat t = 4 s yakni:

θ₄ = 2t³ + 3t² + 2t + 2

θ₄ = 2(4)³ + 3(4)² + 2(4) + 2

θ₄ = 128 + 48 + 8 + 2

θ₄ = 186 rad

 

Kecepatan rata-rata:

ω = (θ₄ – θ_o)/(t₄– t_o)

ω = (186 – 2)/(4 – 0)

ω = 184/4

ω = 46 rad/s

 

b. kecepatan sudut sesaat merupakan turunan dari fungsi posisi sudut yakni:

ω = dθ/dt

ω = d(2t³ + 3t² + 2t + 2)/dt

ω = 6t² + 6t + 2

 

kecepatan sudut saat t = 2 yakni:

ω = 6t² + 6t + 2

ω = 6(2)² + 6(2) + 2

ω = 24 + 12 + 2

ω = 38 rad/s

 

Contoh Soal 6

Sebuah benda yang pada saat t = 0 mempunyai θ_o= 0 dan ω_o = 0 kemudian dipercepat dalam suatu lintasan melingkar dengan jari-jari 10 m menurut persamaan α = 12t² – 18t – 20, α dalam rad/s² dan t dalam sekon. Pada saat t = 2 sekon, tentukan percepatan sudut benda tersebut.

 

Penyelesaian:

Kecepatan sudut suatu benda dapat ditentukan dengan cara menintegralkan persamaan percepatan sudut yakni:

ω = ω_o + ꭍαdt

ω = ω_o + ꭍ(12t² – 18t – 20)dt

ω = ω_o + 4t³ – 9t² – 20t

 

Kecepatan sudut saat t = 2 yakni:

ω = ω_o + 4t³ – 9t² – 20t

ω = 0 + 4(2)³ – 9(2)² – 20(2)

ω = 0 + 32 – 36 – 40

ω = – 44 rad/s

 

Demikian materi mengenai kecepatan sudut dalam gerak melingkar. Jika ada permasalahan dalam memahami materi ini, silahkan tanyakan dikolom komentar.